Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu
 

Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu, genel Möbius grubunun alt grubu olup ile gösterilir. Üst yarı düzlemi koruyan bu grup Riemann küresi üzerinde tanımlıdır. nin etkisi altında hiperbolik doğrular yine hiperbolik doğrulara giderken, herhangi iki eğri arasındaki açının mutlak değerinin, hiperbolik uzunluk ve uzaklığın korunması grubun karakteristik özelliklerinden bazılarıdır. Bu özelliklerden önemli bir sonuca, hiperbolik düzlemin dönüşüm grubuyla hiperbolik yarı düzlemin izometri grubunun eşyapılı olduğuna, varmak mümkündür.