Cebir

Cebir, matematiğin en temel dalıdır; çünkü en basit aritmetik işlemlerden, en karmaşık diferansiyel ve integral hesaplarına kadar matematiğin bütün öteki dallarında uygula*nan genel kuralların belirlenmesinde cebir kullanılır. Klasik cebir, aritmetik yöntemleri simgelerle gösterilen de*ğişik niceliklere uygulayarak genelleştirir ve genişletir. Klasik cebrin yanı sıra, soyut mate*matiksel yapıları konu alan modern cebir vardır. Klasik cebrin aksiyomlarından farklı aksiyomları temel alan yeni cebir türleri de oluşturulabilir.


Klasik cebir aritmetik yöntemlerden hare*ket eder; onları genelleştirir ve genişletir. Örneğin iki sayının çarpımının, çarpanların yerleri değiştiğinde aynı kaldığını hepimiz biliriz.

3×4=4×3

Sayılar yerine harf kullanarak da bu çarpımı yazabiliriz. Sayılardan biri yerine a, öbürü yerine de b kullanırsak;


axb=bxa

olur. Bu eşitlik, “herhangi bir sayının başka herhangi bir sayı ile çarpımı, çarpanlar yer değiştirdiği zaman da hep aynı sonucu verir” kuralının kısa yoldan yazılmasıdır. Aslında bunu daha kısa;

ab=ba

olarak da yazabiliriz.
Sayılar yerine harf kullanıldığı zaman ge*nellikle çarpma işareti kullanılmaz. Benzer biçimde, 2xc yerine 2c yazarız.

Harflerin sayıları temsil edecek biçimde kullanılmasında belirli kurallar geliştirilmiş*tir. Tek, çift ve doğal sayıları aşağıdaki biçimde sırayla yazalım.

Doğal sayılar= 1 2 3 4 5 6 7…
Çift sayılar= 2 4 6 8 10 12 14…
Tek sayılar= 1 3 5 7 9 11 13…

Bu çizelgeye bakınca ilk olarak, her çift sayının, kendi karşılığı olan doğal sayının iki katı; ikinci olarak da, her tek sayının, karşılığı olan çift sayıdan bir eksik olduğu görülür. “Herhangi bir doğal sayıyı temsil etmek için n harfini kullanırsak, çizelgede o doğal sayı*nın karşılığı olan çift sayıyı, onun iki katı olduğu için 2n biçiminde yazabiliriz. Bu çift sayıya karşılık olan tek sayı da, onun bir eksiği olduğu için 2n—1 biçiminde yazıla*bilir.

Doğal, tek ve çift sayılar arasındaki ilişkiyi harf kullanarak bu biçimde tanımlamış olma*mız, n’inci tek ya da çift sayıyı kolayca bulabilmemizi sağlar. Örneğin, 25. tek sayıyı bilmek istersek, n yerine 25 yazarak sonucu kolayca buluruz.


2n-1=(2×25)-1=49

Soruyu tersinden de sorabiliriz. Örneğin, 101 sayısı tek sayılar sıralamasında kaçıncı sırada yer alır?

Bunu yanıtlamak için n’in hangi değerinin

2*1-1=101

eşitliğini sağladığını bulmaya çalışırız. Bunu çeşitli yollardan bulabiliriz; ama hangi yoldan olursa olsun bulunan sonuç

n=51

olacaktır. Demek ki, 101 sayısı 51. tek sa*yıdır.

Formüller ve Denklemler

Yukarıdaki 2n—1 = 101 örneği basit bir denk*lemdir. Denklem iki niceliğin eşitliğini göste*ren matematiksel bir anlatımdır.

Formül adı verilen genel bir denklemde bütün nicelikler yerine onları temsil eden harfler kullanılır. Örneğin bir dikdörtgenin alanını bulmak için uzunluğuyla (a) genişliği*nin (£>), daha açık bir anlatımla uzunluğunda*ki birim sayısıyla genişliğindeki birim sayısı*nın çarpıldığını biliriz. Bu, bir dikdörtgenin alanını bulmaya yarayan formüldür (bak. Alan ve Hacim). Bu formül kısaca

A=ab
olarak yazılır.

Bir dikdörtgenin bazı büyüklüklerini bilir*sek geri kalanlarını bulmak için bu formülü kullanabiliriz. Bir örnek verelim: Eğer bir dikdörtgenin alanının 42 cm2 ve uzunluğunun 7 cm olduğunu biliyorsak bu değerleri formül*deki yerlerine koyarak,

42=7 b

denklemini yazabiliriz. Bu denklemi çözerek fe’nin değeri bulunur. Buna benzer basit örneklerde denklem kolayca çözülür. Ama daha karmaşık başka denklemleri çözmek daha zor olabilir.

İkinci dereceden bir denklemi ele alalım:

x2+7x=25

“jr”, “x’in karesi”, başka bir deyişle “x’in temsil ettiği sayının kendisiyle çarpımı” de*mektir. Öyleyse denklemimizin anlamı şudur:

“Belirli bir sayıyı kendisiyle çarpıp buna aynı sayının 7 katını eklersek elde edeceğimiz sonuç 25 oluyor; acaba bu sayı kaçtır?”

Bu denklemi çözmenin birkaç yolu vardır. Önce x,in değerinin ne olabileceğini tahmin etmeye çalışalım; jc’in yerine 3 koyalım:

32+(7×3)=30

Sonuç 25′ten büyük çıktı. Öyleyse 2′yi dene*yelim:

2:+(7×2)=18

Bu kez sonuç 25′ten küçük çıktı. Görülüyor ki x, 2 ile 3 arasında bir sayıdır. Bu kez x yerine 2,5 yazalım.

2,5: + (7×2,5) = 23,75

sonuç 25′e oldukça yakın, ama hâlâ 25′in altındadır. Bundan sonra deneyeceğimiz sayı 2,5 ile 3 arasında bir sayı olmalı. x yerine 2,6 yazarsak elde edeceğimiz sayı 24,96′dır. Bu 25′e çok yakın.bir sayıdır. Öyleyse x aşağı yukarı 2,6′ya eşittir.

Başka bir denklem türü iki bilinmeyenli denklemdir. 2x+y=3 gibi iki bilinmeyenli bir denklemde bilinmeyenlerden birinin alabile*ceği her gerçek değer için öbür bilinmeye*nin de bir gerçek değeri vardır. Bu ikili*lerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi de*nir.

Başka bir denklem türü de denklem sistem*leridir.

3x+y = x-3y = 7

gibi bir denklem sisteminde, iki bilinmeyenli iki ayrı denklemin birlikte çözümü gerekir. Bu denklem sisteminin çözümü her iki denk*lemin çözüm kümelerinin kesişimidir.
Cebirde harfler yalnızca sayıları temsil et*mez. Matematikteki herhangi bir şey harflerle gösterilebilir.

Örneğin a ve b iki vektör olsun:

a+b=b+a

eşitliği, toplama işleminde, vektörlerin sırala*rı değiştirildiğinde sonucun değişmeyeceğini anlatır.

c=2a+b

ise, c vektörünün, a vektörünün iki katına b vektörünün eklenmesi sonucu elde edildiğini gösterir.